翌日!
早上八点!
本次IMO第二轮开始了!
时长还是四个半小时。
绝大部分参赛者,如杰克汤姆,房吾仲杰,宫崎前,金承元这些人,那脸色黑的,都快要滴出黑水了。
之前他们在开考之前,还都曾趾高气昂的在东云队众人面前耀武扬威。
但现在……
好!
他们看见东云队的,都是绕着走。
连照面都不敢打。
只不过……
一轮淘汰了超过三分之二的人,二轮参赛的不过两三百,考场就那么几个。
无论如何。
他们都避不开跟东云队同考场的命运。
以至于他们心态都有些崩。
但东云队几人自然毫无压力,纷纷雄赳赳,气昂昂的来到考场准备战斗。
江南也终于拿到了第二轮的卷子。
而下一秒。
其眸光微微一凝。
“这题不错啊!”
“比一轮的可要有意思多了!”
几乎下意识的,江南赞叹出声。
嗯!
如果没记错的话。
这还是他自从参加竞赛以来,第一次用欣赏的目光,看待奥数题。
不得不说!
这简直是一种奇迹。
可想而知,这第二轮国际奥数卷子上的六道题,是真的水平在线了。
“或许!”
“这才是真正的国际奥数!”
“总算是没有让我太失望,虽然挑战性不算大,可终归是有了一丢丢挑战性!”
“这次奥数之行,也算是圆满了!”
在赞叹过后!
江南便开始兴奋的解题。
没错!
就是兴奋。
多久了?
他真不知道有多久没碰到过这种让他感到稍有挑战性的数学题了。
不得不说很是怀念啊!
第一题……
“设n大于等于3为给定的正整数,C1,C2,……,Cn为平面上半径为1的单位圆。
对应圆心分别记作O1,02,……,0n,假设任一直线至多和其中两个单位圆相交或相切。
请证明……
所有1/OiOj(1小于等于i小于j小于等于n)小于等于(n-1)π/4。
【ps:这题为IMO史上五大最难题之一,但符号打不出来,图也画不出来!】”
“……”
这题干内容不长。
但仔细一琢磨,确实有些难度。
当然!
也仅仅是有些难度罢了!
证明关键在于下述引理……
“引理:如图(省略)设圆O半径为r,则有:弧PQ+弧RS=4ar。
有了这个微小的引理后,可以对1/OiOj进行估计了,然后在遍历计数。
引理证明……
如上图可知兰姆达λ+μ=2a。
因此……
弧PQ+弧RS=2λr+2μr=4ar。
回到原题:做一个半径r充分大的圆S,将单位圆C1,C2,……,Cn包含在圆S内。
利用引理对1/0i0j进行估计。”
“……”
“……”
不到五分钟的功夫!
江南便把第一道题搞定了。
其实就一个核心点,那就是在利用不等式放缩的同时考虑圈切整体性。
题目并不难。
只是很有意思,要求考生的基础必须非常深厚扎实,不然就是凉凉。
但对江南来说,也就那样!
其实真正让他具有挑战性的,不是解出这道题,而是必须用多种解。
在第一轮的时候。
即便是压轴题。
他都一眼能看出五种解。
可这第二轮,才开始第一道题,他居然都只看出了四种解。
这实在太不可思议了。
要知道系统任务是,第二轮让他继续超分,而且是超6分,考48分啊!
那意味着他每一道题都要用多解,才能每一道题加一分,最终得48分。
但第一题就只有四种解,那第二题,第三题,一直到第六题又会如何?
越想!
江南就越兴奋!
又花了十分钟,把第一道题另外三种解写出来,紧接着看向第二道题。
这是一道代数与集合的混合题。
没别的话说。
只要对拉格朗日定理,偏导数和偏差分算比较了解,就不难做出来。
难的是用多种解。
但江南也就花了二十分钟。
四种解轻松搞定。
然后是第三道题。
又是一道组合题,也可以说风车题。
解答突破口就在于引理or类似想法。
通过变号来缩小讨论范围,这种讨论可以比喻成离散介值定理。
同样二十分钟,四种解完美搞定。
随之第四道题,第五道题。
江南都分别只花了二十多分钟时间作出四解,加上前面三道题,总耗时一百多分钟,全部搞定,而终于来到最后一道压轴。
“咦?”
“这道题真是厉害了!”
“被说四种解,就算三种,我一时半会居然都没看出来,而仅仅只有双解?”
“可双解?”
“不一定能加1分?”
“……”
江南眉头微微一皱。
早在国内奥数决赛时,林羽就跟他说过,前面人曾拿过超分,但那是做出三种解。
也就是说……
他如果想百分百拿超分的话,最起码也要用三种解决,而两种存在不确定性。
如果阅卷老师一个心情不爽,不给他加一分,那岂不是任务失败?
“尼玛!”
“虽然系统积分奖励说重要挺重要,说不重要那是一点都不重要!”
“但……”
“谁想抢我积分,我跟他急!”
“这次考试,无论如何也要拿48分,即便耶稣阻拦都不好使,我说的!”
“……”
几乎在一瞬间。
江南面色一沉,那是他认真的模样。
八分钟!
压轴题第一种解搞定。
又十分钟!
压轴题第二种解搞定。
然而第三种解……
“这样……再那样……再用韦达跳跃,再加无穷递降法,欧拉公式也能用一下……”
过了大概有二十分钟。
江南即便用的字迹再小,但也早已把卷子空白处写的密密麻麻。
若不仔细看到话……
别人还以为他是在写摩斯密码了。
一个个字体跟小蝌蚪一样,组合起来就成为一连串奇怪至极的符号。
但江南却长呼出一口气,终于把笔给停了下来,“呼,总算是搞定了!”
“这题,确实有点难度,起码耗费了我七成功力,才做出第三种解!”
“而且后边已经没有第四种解了,即便有,跟前边也会重合,没多大意义!”
“但即便如此,想必阅卷老师给加一分,应该没啥问题???”
“……”
稍微检查一遍。
确定没有丝毫遗漏之后。
江南便把笔一收,起身交卷去了。
不得不说。
这次考试,绝对是江南耗费时间最长的一次考试,六道题加起来花了他将近一百五十分钟,也就是两个半小时。
考试时间也就四个半小时。
他居然花了一大半?
要知道他过去都是几分钟,几十分钟,撑死个把小时就搞定的啊!
啧啧!
今天简直就是一种失败。
“数学一道,还真是水深啊!除非像我一样,不然一般人还真把握不住!”
“之前从未见过这么难的题,也不知道是谁出的,蛮有意思!”
“原本想着队长,老印他们二轮拿满分应该没问题,但现在看来有些悬了!”
“算了,自求多福!”
“……”